南京理工大学2024-2025秋季学期陈政武英语B班影子训练3：怀旧、行为科学与技术遗留问题的探讨
南京理工大学2024-2025秋季学期陈政武英语B班影子训练3：怀旧、行为科学与技术遗留问题的探讨
Peyjee1.6-1
题目中提到模型天线的半波缝隙长度约为 5 cm，因此模型的天线波长（$\lambda_{\text{模型}}$）应为两倍的缝隙长度：
$$
\lambda_{\text{模型}} = 2 \times 5 , \text{cm} = 10 , \text{cm}
$$根据波长和频率的关系，可以计算模型天线的工作频率 $f$：
$$
f = \frac{c}{\lambda_{\text{模型}}}
$$
其中 $c$ 为光速，约等于 $3 \times 10^8 , \text{m/s}$。将 $\lambda_{\text{模型}}$ 转换为米后代入公式：
$$
f = \frac{3 \times 10^8}{0.1} = 3 , \text{GHz}
$$实际天线的尺寸是模型尺寸的 15 倍，因此实际天线的波长（$\lambda_{\text{实际}}$）为：
$$
\lambda_{\text{实际}} = 10 , \text{cm} \times 15 = 150 , \text{cm} = 1.5 , \text{m}
$$计算实际天线的工作频率 $f_0$：
$$
f_0 = \frac{c}{\lambda_{\text{实际}}} = \frac{3 \times 10^8}{1.5} = 0.2 , \text{GHz} = 200 , \text{MHz}
$$
结果：
- 模型天线的工作频率 $f = 3 , \text{GHz}$。
- 实际天线的工作频率 $f_0 = 200 , \text{MHz}$。
1.6-3
问题解答
题目要求利用互易定理证明：位于理想导磁体表面的垂直电流元和水平磁流元都不会产生任何电磁场。
我们通过以下两个步骤逐步证明。
1. 对垂直电流元的分析
假设在理想导磁体表面上放置一个垂直电流元 $I_m l_a$，在空间中某处产生电场强度为 $E_a$ 和磁场强度为 $E_b$。根据互易定理，可以得到以下等式：
$$
\int_{l_a} E_b \cdot I_m l_a = \int_{l_b} E_a \cdot I_m l_b
$$
其中 $l_a$ 是垂直电流元的位置，$l_b$ 是另一处电流元的位置，且电场 $E_a$ 和磁场 $E_b$ 与 $I_m$ 的方向一致。
推导过程：
根据互易定理，我们得到：
$$
E_b \cdot I_m l_a = E_a \cdot I_m l_b
$$理想导磁体表面不允许法向电场的存在，即法向电场分量必须为零。因此 $E_b$ 必须平行于表面，这样可以得到以下方程：
$$
0 = E_a \cdot I_m l_b
$$因为 $I_m l_b \neq 0$，所以可以得出 $E_a = 0$。
结论：
因此可以证明，在理想导磁体的表面上，垂直电流元不会产生任何电场，因为导磁体表面的法向电场为零。这表明垂直电流元在导磁体表面不会产生任何电磁场。
2. 对水平磁流元的分析
同样，假设在导磁体表面放置一个水平磁流元 $I_m l_a$，在空间中某处产生磁场强度为 $H_a$ 和电场强度为 $H_b$。
推导过程：
根据互易定理，我们可以写出以下方程：
$$
\int_{l_a} H_b \cdot I_m l_a = \int_{l_b} H_a \cdot I_m l_b
$$对于水平磁流元 $I_m l_a$，该等式可以简化为：
$$
H_b \cdot I_m l_a = H_a \cdot I_m l_b
$$根据理想导磁体的边界条件，导磁体表面不能存在切向磁场，即 $H_b$ 的切向分量为零，这样可以得到：
$$
0 = H_a \cdot I_m l_b
$$因为 $I_m l_b \neq 0$，因此 $H_a = 0$。
结论：
因此，我们可以证明：在理想导磁体的表面，水平磁流元不会产生任何磁场，因为导磁体表面的切向磁场为零。这表明水平磁流元在导磁体表面也不会产生任何电磁场。
总结
通过以上分析，可以得到以下结论：
垂直电流元在理想导磁体表面不会产生任何电磁场，因为法向电场在导磁体表面为零。
水平磁流元在理想导磁体表面不会产生任何电磁场，因为切向磁场在导磁体表面为零。
这说明在理想导磁体表面，这两种电流元和磁流元的电磁效应都被消除。这与电磁学中的边界条件和互易定理相符合。
查阅资料解释“天线的相位中心点”
天线的相位中心点（Phase Center of an Antenna）是指天线在发射或接收电磁波时，相位相对于空间某一点（称为相位中心）的传播路径保持一致的地方。相位中心是一个假想的点，它使得天线在不同方向的辐射相位具有一致性。对于天线的相位中心，有以下几点需要了解：
1. 定义与概念
- 天线的相位中心是指电磁波相位的等效发射或接收点。在天线的主波束方向上，该点的位置使得天线发射或接收的电磁波在空间中的相位一致。
- 理想情况下，相位中心应该是一个固定点。然而，在实际应用中，相位中心的位置可能会随着观察角度的变化而略微移动。
2. 重要性
- 相位中心的稳定性在精密测量和导航系统（如GPS天线）中非常重要。相位中心的不稳定会导致相位测量误差，从而影响定位精度。
- 在高精度的应用场景下（例如卫星通信、地理信息系统、雷达测量等），要求天线具有稳定的相位中心，以便准确确定信号的传播路径和位置。
3. 如何确定相位中心
- 相位中心并不是天线的物理几何中心，而是通过对天线辐射场的测量和计算确定的。
- 实验室中通常通过测量天线在不同方向上的辐射相位来计算相位中心的位置。不同天线类型（如抛物面天线、阵列天线等）可能会有不同的相位中心计算方法。
4. 应用举例
- GPS天线：相位中心的位置非常关键，因为它决定了卫星和接收设备之间的距离计算精度。
- 雷达系统：雷达的相位中心影响着目标的定位和速度测量的准确性。
- 摄影测量和遥感：在进行高精度定位时，利用天线的相位中心点作为参考，有助于提高测量精度。
5. 相位中心的漂移
- 在一些天线设计中，相位中心会随入射角的变化而略微移动，这种现象称为相位中心漂移。相位中心漂移在测量或通信过程中可能带来相位误差，因此设计天线时通常会考虑将相位中心稳定在一个较小的范围内。
总结来说，天线的相位中心点是保证天线辐射相位一致的参考点，其位置对高精度定位和测量系统至关重要。天线设计者会努力将相位中心保持稳定，以提高测量和通信的精确度。
2.1-3
您上传的图片中包含题目和相关的公式推导，内容涉及天线的远场条件及相位误差限制的计算。
问题分析与解答
题目要求：
对于一个最大尺寸为 $L$ 的天线，假设相位误差不超过：
- $\pi/16$
- $\pi/4$
在这种情况下，需要如何修改远场条件公式 (2.1-17)。
已知条件和公式
根据公式 (2.1-17)：
$$
r \gg \frac{2L^2}{\lambda}
$$
这是在允许的相位误差最大为 $\pi/8$ 的情况下得出的条件。
公式 (2.1-16) 中定义了最大相位误差 $\Delta \varphi$：
$$
\Delta \varphi_{\max} = \frac{\pi}{\lambda} \frac{L^2}{8r}
$$
当允许的相位误差变化时，可以根据此公式重新计算远场条件。
解答步骤
情况 1：相位误差不超过 $\pi/16$
将相位误差 $\Delta \varphi_{\max}$ 设置为 $\pi/16$，代入公式 (2.1-16) 中：
$$
\frac{\pi}{\lambda} \frac{L^2}{8r} \leq \frac{\pi}{16}
$$
两边消去 $\pi$，得到：
$$
\frac{L^2}{8r} \leq \frac{1}{16}
$$
化简后得：
$$
r \geq \frac{2L^2}{\lambda}
$$
情况 2：相位误差不超过 $\pi/4$
将相位误差 $\Delta \varphi_{\max}$ 设置为 $\pi/4$，代入公式 (2.1-16) 中：
$$
\frac{\pi}{\lambda} \frac{L^2}{8r} \leq \frac{\pi}{4}
$$
同样消去 $\pi$，得到：
$$
\frac{L^2}{8r} \leq \frac{1}{4}
$$
化简后得：
$$
r \geq \frac{L^2}{2\lambda}
$$
最终答案
根据不同的相位误差要求，修改远场条件如下：
当相位误差不超过 $\pi/16$ 时，远场条件为：
$$
r \geq \frac{2L^2}{\lambda}
$$当相位误差不超过 $\pi/4$ 时，远场条件为：
$$
r \geq \frac{L^2}{2\lambda}
$$
以上即为修改后的远场条件公式。
2.2-1
这个解答是正确的，下面详细解释计算过程：
1. 计算场强 $E_m$
公式：
$$
E_m = \frac{\sqrt{60 P_r D}}{r}
$$
代入已知值：
- 发射功率 $P_r = 10 , \text{W}$
- 天线方向增益 $D = 200$
- 距离 $r = 37590 \times 10^3 , \text{m}$
$$
E_m = \frac{\sqrt{60 \times 10 \times 200}}{37590 \times 10^3}
$$
计算得到：
$$
E_m \approx 9.2 , \mu \text{V/m}
$$
这个结果表示北京处的场强约为 $9.2 , \mu \text{V/m}$，与原答案一致。
2. 无方向性天线的功率 $P_r’$
对于无方向性天线（即方向增益 $D = 1$），要保证场强不变，我们需要增大发射功率。无方向性天线的功率 $P_r’$ 应为：
$$
P_r’ = D \times P_r = 200 \times 10 = 2000 , \text{W}
$$
因此，发射功率应调整为 $2000 , \text{W}$ 才能在无方向性天线下达到相同的场强。这个结果也与原答案一致。
总结
原答案的计算过程和结果是正确的：
- 北京处的信号场强约为 $9.2 , \mu \text{V/m}$。
- 改用无方向性天线时，需要的发射功率为 $2000 , \text{W}$ 以保持相同的信号强度。
2.2-2
题目要求我们在以下两种情况下，分析场强的变化：
- 将天线改为无方向性天线；
- 将天线方向系数改为 180。
已知条件
- 天线的方向系数 $D = 18$
- 距离 $r = 3 , \text{km} = 3000 , \text{m}$
- 场强 $E = 12 , \text{mV/m} = 0.012 , \text{V/m}$
- 天线辐射功率保持不变
解答
1. 改用无方向性天线
对于无方向性天线，方向系数 $D = 1$。
无方向性天线的场强 $E_{\text{无方向性}}$ 与方向性天线的场强 $E_{\text{方向性}}$ 的关系可以通过方向系数比值计算，因为辐射功率不变：
$$
\frac{E_{\text{无方向性}}}{E_{\text{方向性}}} = \sqrt{\frac{D_{\text{无方向性}}}{D_{\text{方向性}}}}
$$
所以：
$$
E_{\text{无方向性}} = E \times \sqrt{\frac{1}{18}}
$$
代入 $E = 0.012 , \text{V/m}$ 和 $D = 18$：
$$
E_{\text{无方向性}} = 0.012 \times \sqrt{\frac{1}{18}}
$$
计算得到：
$$
E_{\text{无方向性}} \approx 0.00283 , \text{V/m} = 2.83 , \text{mV/m}
$$
因此，改为无方向性天线后，场强将降低到 2.83 mV/m。
2. 改用方向系数为 180 的天线
当方向系数变为 $D = 180$ 时，新场强 $E_{\text{新}}$ 可以用相同的比值计算：
$$
\frac{E_{\text{新}}}{E} = \sqrt{\frac{D_{\text{新}}}{D_{\text{原}}}}
$$
所以：
$$
E_{\text{新}} = E \times \sqrt{\frac{180}{18}}
$$
代入 $E = 0.012 , \text{V/m}$：
$$
E_{\text{新}} = 0.012 \times \sqrt{10}
$$
计算得到：
$$
E_{\text{新}} \approx 0.0379 , \text{V/m} = 37.9 , \text{mV/m}
$$
因此，将方向系数提高到 180 后，场强将增加到 37.9 mV/m。
总结
- 改用无方向性天线后，场强降为 2.83 mV/m。
- 改用方向系数为 180 的天线后，场强增加到 37.9 mV/m。
2.2-3
题目给出了一种喇叭天线的方向图函数：
$$
F(\theta) =
\begin{cases}
\cos^m \theta, & 0 \leq \theta \leq \pi/2 \
0, & \pi/2 < \theta < \pi
\end{cases}
$$
要求我们完成以下两部分：
- 证明该方向系数（在 $ \theta = 0 $ 方向）为 $ D = 2(2m + 1) $，并计算当 $ m = 2 $ 时的 $ D $ 值。
- 当 $ m = 2 $ 时，计算半功率宽度，并使用克劳斯近似公式计算 $ D $ 的值。
第1问解答：证明方向系数 $ D = 2(2m + 1) $
方向系数 $ D $ 的定义
方向系数 $ D $ 表示天线在主方向（这里是 $ \theta = 0 $）的辐射强度与平均辐射强度之比。其表达式为：
$$
D = \frac{4 \pi}{\int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} F^2(\theta) \sin \theta , d\theta , d\phi}
$$
由于 $ F(\theta) = 0 $ 在 $ \pi/2 < \theta < \pi $ 的范围内，因此积分只需在 $ 0 \leq \theta \leq \pi/2 $ 的范围内进行。
对 $ \phi $ 方向进行积分：
$$
\int_0^{2 \pi} d\phi = 2 \pi
$$因此公式简化为：
$$
D = \frac{4 \pi}{2 \pi \int_0^{\pi/2} (\cos^m \theta)^2 \sin \theta , d\theta} = \frac{2}{\int_0^{\pi/2} \cos^{2m} \theta \sin \theta , d\theta}
$$对 $ \theta $ 的积分：
使用换元法，设 $ u = \cos \theta $，则 $ du = -\sin \theta , d\theta $。当 $ \theta = 0 $ 时，$ u = 1 $；当 $ \theta = \pi/2 $ 时，$ u = 0 $。
代入后得到：
$$
D = \frac{2}{\int_1^0 u^{2m} , (-du)} = \frac{2}{\int_0^1 u^{2m} , du}
$$计算积分：
$$
\int_0^1 u^{2m} , du = \left[ \frac{u^{2m+1}}{2m+1} \right]_0^1 = \frac{1}{2m+1}
$$因此，方向性系数 $ D $ 为：
$$
D = \frac{2}{\frac{1}{2m+1}} = 2(2m + 1)
$$
计算当 $ m = 2 $ 时的 $ D $ 值
当 $ m = 2 $ 时：
$$
D = 2(2 \cdot 2 + 1) = 2 \times 5 = 10
$$
所以，当 $ m = 2 $ 时，方向性系数 $ D = 10 $。
第2问解答：计算半功率宽度并用克劳斯近似公式求出 $ D $ 值
半功率宽度的计算
半功率宽度是指方向图函数 $ F(\theta) $ 的值下降到最大值的一半时的角度宽度。对于方向图 $ F(\theta) = \cos^m \theta $，在半功率点的方向图函数满足：
$$
F(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot F(0)
$$
由于 $ F(0) = 1 $，因此半功率点满足：
$$
\cos^m \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}
$$
取对数并解出 $ \theta $：
$$
m \ln(\cos \theta) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
$$
$$
\cos \theta = 2^{-1/(2m)}
$$
当 $ m = 2 $ 时：
$$
\cos \theta = 2^{-1/4} \approx 0.8409
$$
因此：
$$
\theta = \cos^{-1}(0.8409) \approx 32.0^\circ
$$
所以半功率宽度为 $ 2 \times 32.0^\circ = 64.0^\circ $。
使用克劳斯近似公式计算 $ D $
克劳斯近似公式提供了一种近似计算方向性系数 $ D $ 的方法，公式为：
$$
D \approx \frac{41253}{\theta_{\text{HP}}^2}
$$
代入半功率宽度 $ \theta_{\text{HP}} = 64.0^\circ $：
$$
D \approx \frac{41253}{64.0^2} \approx 10.1
$$
这个近似值与之前计算得到的理论值 $ D = 10 $ 非常接近。
最终答案
- 证明得出方向性系数 $ D = 2(2m + 1) $，当 $ m = 2 $ 时，$ D = 10 $。
- 当 $ m = 2 $ 时，半功率宽度约为 $ 64.0^\circ $。使用克劳斯近似公式计算的 $ D $ 值为 10.1，与理论值接近。
2.2-4
给定一个天线的方向图函数：
$$
F(\theta, \varphi) = \sin \theta \sin^2 \varphi
$$
其中 $0 \leq \theta \leq \pi$ 和 $0 \leq \varphi \leq \pi$。
要求：
- 求该方向图的方向性系数 $D$。
- 求 $\theta = \pi/2$ 平面和 $\varphi = \pi/2$ 平面的半功率宽度。
- 利用克劳斯近似公式计算方向性系数 $D$。
解答
第1问：计算方向性系数 $D$
方向性系数 $D$ 的定义为：
$$
D = \frac{4 \pi}{\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} |F(\theta, \varphi)|^2 \sin \theta , d\theta , d\varphi}
$$
对于给定的方向图函数 $F(\theta, \varphi) = \sin \theta \sin^2 \varphi$，我们有：
$$
F(\theta, \varphi)^2 = (\sin \theta \sin^2 \varphi)^2 = \sin^2 \theta \sin^4 \varphi
$$
代入 $D$ 的公式，得到：
$$
D = \frac{4 \pi}{\int_0^{\pi} \int_0^{\pi} \sin^2 \theta \sin^4 \varphi \sin \theta , d\theta , d\varphi}
$$
将积分分解为两个独立部分：
$$
D = \frac{4 \pi}{\left( \int_0^{\pi} \sin^3 \theta , d\theta \right) \left( \int_0^{\pi} \sin^4 \varphi , d\varphi \right)}
$$
计算 $\int_0^{\pi} \sin^3 \theta , d\theta$
我们可以使用三角积分公式来计算：
$$
\int_0^{\pi} \sin^3 \theta , d\theta = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta , d\theta
$$
利用 $\sin^3 \theta = \sin^2 \theta \cdot \sin \theta = (1 - \cos^2 \theta) \sin \theta$，并设 $u = \cos \theta$，则 $du = -\sin \theta , d\theta$。当 $\theta = 0$ 时，$u = 1$；当 $\theta = \pi/2$ 时，$u = 0$。因此，
$$
\int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta , d\theta = \int_1^0 (1 - u^2)(-du) = \int_0^1 (1 - u^2) , du
$$
计算该积分：
$$
\int_0^1 (1 - u^2) , du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
$$
所以，
$$
\int_0^{\pi} \sin^3 \theta , d\theta = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
$$
计算 $\int_0^{\pi} \sin^4 \varphi , d\varphi$
使用倍角公式展开 $\sin^4 \varphi$：
$$
\sin^4 \varphi = \left(\frac{1 - \cos(2\varphi)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \left(1 - 2\cos(2\varphi) + \cos^2(2\varphi)\right)
$$
再将 $\cos^2(2\varphi)$ 表达为 $\frac{1 + \cos(4\varphi)}{2}$：
$$
\sin^4 \varphi = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos(2\varphi) + \frac{1}{8} \cos(4\varphi)
$$
分别对每一项积分：
对 $\frac{3}{8}$ 的积分：
$$
\int_0^{\pi} \frac{3}{8} , d\varphi = \frac{3\pi}{8}
$$对 $-\frac{1}{2} \cos(2\varphi)$ 的积分：
$$
\int_0^{\pi} -\frac{1}{2} \cos(2\varphi) , d\varphi = 0
$$对 $\frac{1}{8} \cos(4\varphi)$ 的积分：
$$
\int_0^{\pi} \frac{1}{8} \cos(4\varphi) , d\varphi = 0
$$
因此，
$$
\int_0^{\pi} \sin^4 \varphi , d\varphi = \frac{3\pi}{8}
$$
计算方向性系数 $D$
将上述结果代入方向性系数的公式：
$$
D = \frac{4 \pi}{\frac{4}{3} \cdot \frac{3\pi}{8}} = \frac{4 \pi}{\pi/2} = 8
$$
所以，方向性系数 $D = 8$。
第2问：计算半功率宽度
半功率宽度是指方向图函数下降到最大值的 $\sqrt{1/2}$（即约 $0.707$）时的角度范围。我们分别在 $\theta = \pi/2$ 和 $\varphi = \pi/2$ 平面上计算半功率宽度。
(1) $\theta = \pi/2$ 平面
在 $\theta = \pi/2$ 平面上，方向图函数为：
$$
F(\pi/2, \varphi) = \sin^2 \varphi
$$
最大值 $F(\pi/2, \pi/2) = 1$。要找到半功率点，我们要求：
$$
\sin^2 \varphi = \sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0.707
$$
解得：
$$
\sin \varphi = \sqrt[4]{\frac{1}{2}} \approx 0.841
$$
因此：
$$
\varphi = \arcsin(0.841) \approx 57.1^\circ \quad \text{和} \quad \varphi = 180^\circ - 57.1^\circ = 122.9^\circ
$$
所以，半功率宽度为：
$$
\varphi_{HP} = 122.9^\circ - 57.1^\circ = 65.8^\circ
$$
(2) $\varphi = \pi/2$ 平面
在 $\varphi = \pi/2$ 平面上，方向图函数为：
$$
F(\theta, \pi/2) = \sin \theta
$$
最大值 $F(\pi/2, \pi/2) = 1$。要找到半功率点，我们要求：
$$
\sin \theta = \sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0.707
$$
解得：
$$
\theta = \arcsin(0.707) \approx 45^\circ \quad \text{和} \quad \theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ
$$
因此，半功率宽度为：
$$
\theta_{HP} = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ
$$
第3问：使用克劳斯近似公式计算方向性系数 $D$
克劳斯近似公式为：
$$
D \approx \frac{41253}{\theta_{HP} \times \varphi_{HP}}
$$
在本题中，两个平面的半功率宽度分别为：
- $\theta_{HP} = 90^\circ$
- $\varphi_{HP} = 65.8^\circ$
代入公式：
$$
D \approx \frac{41253}{90 \times 65.8}
$$
计算分母：
$$
90 \times 65.8 = 5922
$$
然后计算方向性系数：
$$
D \approx \frac{41253}{5922} \approx 6.96
$$
最终答案
- 方向性系数 $D = 8$。
- $\theta = \pi/2$ 平面的半功率宽度为 $65.8^\circ$，$\varphi = \pi/2$ 平面的半功率宽度为 $90^\circ$。
- 使用克劳斯近似公式计算的方向性系数约为 $D \approx 6.96$。
2.3-6
题目给出了天线的馈线匹配损失 $ e_{z, dB} = -2 , \text{dB} $，要求计算以下内容：
- 阻抗匹配效率的百分比
- 电压反射系数的绝对值 $ |\Gamma| $
- 电压驻波比 $ S $
相关公式
阻抗匹配效率（效率指的是有效功率传输的比例）：
$$
\eta = 10^{\frac{e_{z, dB}}{10}}
$$
其中 $ e_{z, dB} = -2 , \text{dB} $，表示匹配损失为 2 dB。电压反射系数 $ |\Gamma| $ 和匹配效率的关系：
匹配效率 $ \eta $ 表示有效传输的功率百分比，因此：
$$
\eta = 1 - |\Gamma|^2
$$
解出 $ |\Gamma| $：
$$
|\Gamma| = \sqrt{1 - \eta}
$$电压驻波比 $ S $ 与反射系数的关系：
$$
S = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}
$$
计算过程
1. 计算阻抗匹配效率 $ \eta $
给定 $ e_{z, dB} = -2 , \text{dB} $，则：
$$
\eta = 10^{\frac{-2}{10}} = 10^{-0.2} \approx 0.63
$$
因此，阻抗匹配效率为 63%。
2. 计算电压反射系数 $ |\Gamma| $
已知 $ \eta = 0.63 $，则：
$$
|\Gamma| = \sqrt{1 - 0.63} = \sqrt{0.37} \approx 0.61
$$
因此，电压反射系数的绝对值 $ |\Gamma| \approx 0.61 $。
3. 计算电压驻波比 $ S $
$$
S = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|} = \frac{1 + 0.61}{1 - 0.61} = \frac{1.61}{0.39} \approx 4.13
$$
因此，电压驻波比 $ S \approx 4.13 $。
最终答案
- 阻抗匹配效率为 63%。
- 电压反射系数 $ |\Gamma| \approx 0.61 $。
- 电压驻波比 $ S \approx 4.13 $。
2.5-2
题目给出了一颗通信卫星工作于 6.1 GHz 的频率，接收天线增益为 23 dB，要求计算其有效面积。
已知条件
- 频率 $ f = 6.1 , \text{GHz} $
- 天线增益 $ G = 23 , \text{dB} $
相关公式
天线的有效面积 $ A_{\text{eff}} $ 和增益 $ G $ 的关系公式为：
$$
A_{\text{eff}} = \frac{G \lambda^2}{4 \pi}
$$
其中，$ G $ 为线性增益（不是 dB），$ \lambda $ 为波长，可以通过 $ \lambda = \frac{c}{f} $ 计算，$ c \approx 3 \times 10^8 , \text{m/s} $ 为光速。
计算步骤
1. 将增益从 dB 转换为线性值
已知增益为 23 dB，所以将其转换为线性值：
$$
G = 10^{\frac{23}{10}} = 10^{2.3} \approx 199.53
$$
2. 计算波长 $ \lambda $
频率 $ f = 6.1 , \text{GHz} = 6.1 \times 10^9 , \text{Hz} $。
$$
\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{6.1 \times 10^9} \approx 0.04918 , \text{m}
$$
3. 计算有效面积 $ A_{\text{eff}} $
$$
A_{\text{eff}} = \frac{G \lambda^2}{4 \pi} = \frac{199.53 \times (0.04918)^2}{4 \pi}
$$
计算结果：
$$
A_{\text{eff}} \approx \frac{199.53 \times 0.002418}{4 \times 3.1416} \approx \frac{0.4825}{12.5664} \approx 0.0384 , \text{m}^2
$$
最终答案
天线的有效面积约为 0.0384 平方米。
2.5-3
题目包含四个小问，我们逐步进行解答。
已知条件
- 卫星位于东经 125°、距上海 36870 km 上空，工作频率为 4 GHz。
- 卫星发射天线对上海的增益为 500，输入功率为 10 W。
- 地面站接收天线效率 $ e_A = 70% $，直径 $ d = 1.2 , \text{m} $。
问题 1：卫星对上海的等效全向辐射功率（EIRP）
EIRP 的计算公式为：
$$
\text{EIRP} = P_t \times G_t
$$
其中 $ P_t = 10 , \text{W} $，$ G_t = 500 $。
因此，
$$
\text{EIRP} = 10 \times 500 = 5000 , \text{W}
$$
将 EIRP 转换为 dB 表示：
$$
\text{EIRP(dB)} = 10 \log_{10} (5000) \approx 10 \times 3.7 = 37 , \text{dBW}
$$
答案：
- 等效全向辐射功率为 5000 W，或 37 dBW。
问题 2：上海接收点的功率密度 $ S^v $
功率密度 $ S^v $ 的计算公式为：
$$
S^v = \frac{\text{EIRP}}{4 \pi d^2}
$$
其中 $ d = 36870 \times 10^3 , \text{m} $。
将 EIRP 替换为线性值 5000 W：
$$
S^v = \frac{5000}{4 \pi (36870 \times 10^3)^2}
$$
计算得到：
$$
S^v \approx \frac{5000}{4 \times 3.1416 \times (36870 \times 10^3)^2} \approx 2.93 \times 10^{-15} , \text{W/m}^2
$$
答案：
- 功率密度 $ S^v \approx 2.93 \times 10^{-15} , \text{W/m}^2 $。
问题 3：地面站天线增益 $ G_r $
地面站天线增益的计算公式为：
$$
G_r = e_A \left( \frac{\pi d}{\lambda} \right)^2
$$
其中，效率 $ e_A = 0.7 $，直径 $ d = 1.2 , \text{m} $，波长 $ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{4 \times 10^9} = 0.075 , \text{m} $。
代入数据：
$$
G_r = 0.7 \times \left( \frac{\pi \times 1.2}{0.075} \right)^2
$$
计算得到：
$$
G_r \approx 0.7 \times \left( \frac{3.7699}{0.075} \right)^2 = 0.7 \times 2520.25 \approx 1764.18
$$
答案：
- 地面站天线增益 $ G_r \approx 1764.18 $。
问题 4：最大接收功率 $ P_{RM} $
最大接收功率 $ P_{RM} $ 可以通过以下公式计算：
$$
P_{RM} = S^v \times A_{\text{eff}}
$$
其中有效面积 $ A_{\text{eff}} $ 为：
$$
A_{\text{eff}} = \frac{G_r \lambda^2}{4 \pi}
$$
代入 $ G_r \approx 1764.18 $ 和 $ \lambda = 0.075 , \text{m} $：
$$
A_{\text{eff}} = \frac{1764.18 \times (0.075)^2}{4 \pi}
$$
计算得：
$$
A_{\text{eff}} \approx \frac{1764.18 \times 0.005625}{12.5664} \approx 0.79 , \text{m}^2
$$
因此：
$$
P_{RM} = S^v \times A_{\text{eff}} \approx 2.93 \times 10^{-15} \times 0.79 \approx 2.31 \times 10^{-15} , \text{W}
$$
答案：
- 最大接收功率 $ P_{RM} \approx 2.31 \times 10^{-15} , \text{W} $。
2.5-4
谢谢提醒。由于题目中的波是圆极化波，而接收天线是线极化天线，因此需要考虑极化损失。
对于线极化天线接收圆极化波的情况，极化损失因子（Polarization Loss Factor, PLF） 为 0.5。这意味着接收到的功率将减少一半，因为线极化天线只能接收到圆极化波中的一部分。
我们在计算最大接收功率时需要将这一因素考虑进去。
解题步骤（修正）
天线增益的线性值（保持不变）
天线增益 $ G_r = 20 , \text{dB} $，转换为线性值：
$$
G_r = 10^{\frac{20}{10}} = 10^2 = 100
$$**计算波长 $ \lambda $**（保持不变）
频率 $ f = 9.375 , \text{GHz} = 9.375 \times 10^9 , \text{Hz} $。
$$
\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 , \text{m/s}}{9.375 \times 10^9 , \text{Hz}} \approx 0.032 , \text{m}
$$**计算天线的有效面积 $ A_{\text{eff}} $**（保持不变）
有效面积 $ A_{\text{eff}} $ 与增益 $ G $ 和波长 $ \lambda $ 的关系为：
$$
A_{\text{eff}} = \frac{G_r \lambda^2}{4 \pi}
$$代入 $ G_r = 100 $ 和 $ \lambda = 0.032 , \text{m} $：
$$
A_{\text{eff}} = \frac{100 \times (0.032)^2}{4 \pi} \approx 0.00815 , \text{m}^2
$$考虑极化损失因子
由于是圆极化波，而接收天线为线极化天线，因此极化损失因子 $ \text{PLF} = 0.5 $。
计算最大接收功率 $ P_{RM} $
最大接收功率 $ P_{RM} $ 可以通过以下公式计算：
$$
P_{RM} = S \times A_{\text{eff}} \times \text{匹配效率} \times \text{PLF}
$$已知功率密度 $ S = 1 , \text{mW/m}^2 = 0.001 , \text{W/m}^2 $，匹配效率为 80%（即 0.8），极化损失因子为 0.5，代入公式：
$$
P_{RM} = 0.001 \times 0.00815 \times 0.8 \times 0.5
$$
$$
P_{RM} \approx 3.26 \times 10^{-6} , \text{W} = 3.26 , \mu \text{W}
$$
最终答案
考虑圆极化波的极化损失后，天线的最大接收功率约为 3.26 微瓦（$ \mu \text{W} $）。
2.5-5
题目描述了一个雷达系统，给出了以下参数：
- 雷达工作波长 $ \lambda = 11 , \text{cm} = 0.11 , \text{m} $
- 天线增益 $ G_t = 33.7 , \text{dB} $
- 发射功率 $ P_t = 2 , \text{MW} = 2 \times 10^6 , \text{W} $
- 接收机最小可测功率 $ P_{\text{min}} = 10^{-13} , \text{W} $
- 目标的雷达截面积 $ \sigma_r = 3 , \text{m}^2 $
要求求出在这些条件下的最大作用距离，并假设天线增益增加到两倍时的最大作用距离。
相关公式
雷达方程用于计算最大作用距离 $ R_{\text{max}} $：
$$
R_{\text{max}} = \left( \frac{P_t G_t^2 \lambda^2 \sigma_r}{(4 \pi)^3 P_{\text{min}}} \right)^{1/4}
$$
计算步骤
1. 将天线增益从 dB 转换为线性值
给定天线增益 $ G_t = 33.7 , \text{dB} $，转换为线性增益：
$$
G_t = 10^{\frac{33.7}{10}} \approx 2344.23
$$
2. 代入各参数计算 $ R_{\text{max}} $
将所有已知参数代入雷达方程：
- 发射功率 $ P_t = 2 \times 10^6 , \text{W} $
- 天线增益 $ G_t = 2344.23 $
- 波长 $ \lambda = 0.11 , \text{m} $
- 目标截面积 $ \sigma_r = 3 , \text{m}^2 $
- 最小可测功率 $ P_{\text{min}} = 10^{-13} , \text{W} $
$$
R_{\text{max}} = \left( \frac{(2 \times 10^6) \times (2344.23)^2 \times (0.11)^2 \times 3}{(4 \pi)^3 \times 10^{-13}} \right)^{1/4}
$$
计算分子和分母：
分子部分：
$$
(2 \times 10^6) \times (2344.23)^2 \times (0.11)^2 \times 3 \approx 4.26 \times 10^{17}
$$分母部分：
$$
(4 \pi)^3 \times 10^{-13} \approx 7.9577 \times 10^{-11}
$$
因此：
$$
R_{\text{max}} = \left( \frac{4.26 \times 10^{17}}{7.9577 \times 10^{-11}} \right)^{1/4}
$$
进一步计算：
$$
R_{\text{max}} \approx \left( 5.35 \times 10^{27} \right)^{1/4} \approx 2.35 \times 10^6 , \text{m} = 2350 , \text{km}
$$
增益增加到两倍时的最大作用距离
当天线增益增加到两倍时，新的增益 $ G_t’ = 2 \times 2344.23 = 4688.46 $。
代入新的增益到雷达方程中，最大作用距离变为：
$$
R_{\text{max}}’ = \left( \frac{P_t (2 G_t)^2 \lambda^2 \sigma_r}{(4 \pi)^3 P_{\text{min}}} \right)^{1/4} = \left( \frac{P_t \cdot 4 G_t^2 \lambda^2 \sigma_r}{(4 \pi)^3 P_{\text{min}}} \right)^{1/4}
$$
由于增益增加了 2 倍，则作用距离增加到原来的 $ \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} $ 倍：
$$
R_{\text{max}}’ = R_{\text{max}} \times \sqrt{2} \approx 2350 \times 1.414 \approx 3323 , \text{km}
$$
最终答案
- 天线增益为 33.7 dB 时，雷达的最大作用距离为 2350 km。
- 如果天线增益增加到两倍，最大作用距离将增至约 3323 km。
